题目

问一函数数学题
任意二次函数f(x)=x＾2+2ax+c,且f(1)=-1,若对于任意x∈[a,a+2],f(x)＞-1恒成立,求实数a的取值范围?
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提问时间：2021-01-17

答案

f(x)=x＾2+2ax+c
可以看出这个函数对称轴是 x = -a
所以可以分情况讨论.即:
①当 对称轴在 区间内的时候：
即：a≤-a≤a+2
-1≤a≤0
此时：函数最小值就是 f(-a)
-a²+c ＞-1
∵f（1） = -1
∴1-2a+c=-1
c = 2a-2
原不等式化为：a²-2a+1 ＜ 0
不合题意
②当对称轴在区间左侧,即 -a ＜ a 的时候
a > 0
此函数的单调递增的.所以a ＞ 1
③当对称轴在区间右侧,即 a+2 ＜ -a ,a＜-1 的时候
此函数是单调递减的,f(x)的最小值就是 f(a+2)
所以
f(a+2)= (a²+4+4a)+2a(a+2)+2(a-1)
解得：
a＜-3 或者
a＞ -1/3舍去
综上所述：
a的取值范围为：
(-∞ ,-3) ∪ (1,+∞)