题目

已知函数f(x)＝

3−ax

a−1

(a≠1)．
（1）求f（x）的定义域
（2）若f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围．

提问时间：2021-01-17

答案

（1）当a＞0且a≠1时，由3-ax≥0得x≤

3

a

，f（x）的定义域是(−∞，

3

a

]（2分）
当a=0时，f（x）的定义域是R（4分）
当a＜0时，由3-ax≥0得x≥

3

a

，所以f（x）的定义域是[

3

a

，+∞)（6分）
（2）当a＞1时，由题意知1＜a≤3；（8分）
当0＜a＜1时，为增函数，不合题意；（10分）
当a＜0时，f（x）在区间（0，1]上是减函数（12分）
综上a的范围为（-∞，0）∪（1，3]（14分）

（1）让根号内的因式大于等于0即可；
（2）讨论a的取值，在利用增函数乘正数单调性不变，乘负数单调性相反可得a的取值范围．

本题考点：函数单调性的性质．

考点点评：一般来说，如果函数有解析式给出，则其定义域就是让解析式有意义的自变量的取值范围．当一个函数是有两个以上数学式子的 和，差，积商的形式构成时，其定义域就是让各部分都有意义的公共部分的集合．