题目

求函数f（x）=x+2cosx在区间[0，

π

2

]上的值域．

提问时间：2021-01-17

答案

解∵f'（x）=1-2sinx，
由于x∈[0，

π

2

]，
令f'（x）=0得x＝

π

6

，
则f（x）在[0，

π

6

]上递增，在[

π

6

，

π

2

]上递减，
则f(x)max＝f(

π

6

)＝

3

+

π

6

，
又f（0）=2，f(

π

2

)＝

π

2

，则f(x)min＝

π

2

，
从而f(x)∈[

π

2

，

3

+

π

6

]

求出f（x）的导函数，令导函数为0求出根，判断出根左右两边的导函数符号，求出极大值即最大值，再求出区间两个端点对应的值，从中选出最小值，求出函数的值域．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：求函数在闭区间上的值域问题，一般先利用导数求出函数的极值，再求出区间的两个端点对应的函数值，从它们中选出最值即得到值域．