题目
圆台的上、下底面半径分别为5cm、10cm,母线长AB=20cm,从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点(A在下底面),求:
(1)绳子的最短长度;
(2)在绳子最短时,上底圆周上的点到绳子的最短距离.
(1)绳子的最短长度;
(2)在绳子最短时,上底圆周上的点到绳子的最短距离.
提问时间:2021-01-16
答案
(1)画出圆台的侧面展开图,
并还原成圆锥展开的扇形,且设扇形的圆心为O.
有图得:所求的最短距离是MB',
设OA=R,圆心角是θ,则由题意知,
10π=θR ①,20π=θ(20+R) ②,由①②解得,θ=
,R=20,
∴OM=30,OB'=40,则MB'=50cm.
故绳子最短的长度为:50cm.
(2)作OC垂直于B'M交于D,OC是顶点O到MB'的最短距离,
则DC是MB'与弧AA'的最短距离,DC=OC-OD=
-20=4cm,
即绳子上各点与上底面圆周的最短距离是:4cm.
并还原成圆锥展开的扇形,且设扇形的圆心为O.
有图得:所求的最短距离是MB',
设OA=R,圆心角是θ,则由题意知,
10π=θR ①,20π=θ(20+R) ②,由①②解得,θ=
π |
2 |
∴OM=30,OB'=40,则MB'=50cm.
故绳子最短的长度为:50cm.
(2)作OC垂直于B'M交于D,OC是顶点O到MB'的最短距离,
则DC是MB'与弧AA'的最短距离,DC=OC-OD=
OM•OB′ |
MB′ |
即绳子上各点与上底面圆周的最短距离是:4cm.
(1)由题意需要画出圆台的侧面展开图,并还原成圆锥展开的扇形,则所求的最短距离是平面图形两点连线.
(2)根据条件求出扇形的圆心角以及半径长,在求出最短的距离.
(2)根据条件求出扇形的圆心角以及半径长,在求出最短的距离.
多面体和旋转体表面上的最短距离问题.
本题考查了在几何体表面的最短距离的求出,一般方法是把几何体的侧面展开后,根据题意作出最短距离即两点连线,结合条件求出,考查了转化思想.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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