题目

求 平面直角坐标系XOY中圆C1：（X+3）^2+(Y-1)^2=4和圆C2：（X-4）^2+（Y-5）^2=4
设P为平面上的点,满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线L1和L2,他们分别于圆C1和圆C2相交,且直线L1被圆C1截得的弦长与直线L2被圆C2截得的弦长相等,试求所以满足条件的点P的坐标.
设点P坐标为(m,n),直线l1、l2的方程分别为：
y-n=k(x-m),y-n=-1/k(x-m)
即kx-y+n-km=0,-x/k-y+n+m/k=0
因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,两圆半径相等
由垂径定理,得：圆心C1到直线l1与C2直线l2的距离相等
∴|-3k-1+n-km|/√(k^2+1)=|-4/k-5+n+m/k|/√(1/k^2+1)
化简,得：(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5
关于x的方程有无穷多解,有：2-m-n=0,m-n-3=0或m-n+8=0,m+n-5=0
解得：点P坐标为(-3/2,13/2)或(5/2,-1/2)
∴|-3k-1+n-km|/√(k^2+1)=|-4/k-5+n+m/k|/√(1/k^2+1)
化简,得：(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5
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提问时间：2021-01-16

答案

|-3k-1+n-km|/√(k^2+1)=|-4/k-5+n+m/k|/√(1/k^2+1)=|-4-5k+nk+m|/根号(1+k^2),(分子分母同量乘上|k|)
故有|-3k-1+n-km|=|-4-5k+nk+m|
即有-3k-1+n-km=-4-5k+nk+m或-3k-1+n-km=-(-4-5k+nk+m)
化简,得：(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5