题目

已知函数f（x）=log_a（x²-2ax）在[4，5]上为增函数，则a的取值范围是（　　）
A. （1，4）
B. （1，4]
C. （1，2）
D. （1，2]

提问时间：2021-01-15

答案

由题意可得g（x）=x²-2ax的对称轴为x=a
①当a＞1时，由复合函数的单调性可知，g（x）在[4，5]单调递增，且g（x）＞0在[4，5]恒成立
则

a＞1 g(4)＝16−8a＞0 a≤4

∴1＜a＜2
②0＜a＜1时，由复合函数的单调性可知，g（x）在[4，5]单调递增，且g（x）＞0在[4，5]恒成立
则

0＜a＜1 a≥5 g(5)＝25−10a＞0

此时a不存在
综上可得，1＜a＜2
故选C．

由题意可得g（x）=x²-2ax的对称轴为x=a，①当a＞1时，由复合函数的单调性可知，g（x）在[4，5]单调递增，且g（x）＞0在[4，5]恒成立，②0＜a＜1时，由复合函数的单调性可知，g（x）在[4，5]单调递增，且g（x）＞0在[4，5]恒成立从而可求a

本题考点：对数函数的单调性与特殊点；二次函数的性质；对数函数的定义域．

考点点评：本题主要考查了由对数函数及二次函数复合二次的复合函数的单调性的应用，解题中一定要注意对数的真数大于0这一条件的考虑．