题目

设是一个具有消去律的有限独异点,证明是一个群.

提问时间：2021-01-15

答案

只需证G中每个元都有逆元.
先证a*x=b必有
　·由于G是有限的,故设其有n个元素a_1,a_2,...,a_n
　·用a左乘之,得a*G:={a*a_1,a*a_2,...,a*a_n}
　·由于乘法具有封闭性,得a*G⊆G
　·又由于消去律,∀i∀j(a*a_i = a*a_j ⇒ a_i = a_j),于是a*G中元素两两不同,即a*G与G等势.但G是有限集,不能与其真子集具有相同的基数,因此a*G⫋G不成立（“⫋”为真子集记号）,即只能是a*G=G
　·于是b∈a*G,即∃i(b = a*a_i),也即∃x(b = a*x)
再证G中每个元都有逆元：
　·任取G中一元a,则a*x=e（e是单位元）有解.这样,x就是a的逆元.