题目
某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的.为了牢固起见,每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱,防护栏的最高点距底部0.5m(如图),则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为( )
A. 50 m
B. 100 m
C. 160 m
D. 200 m
A. 50 m
B. 100 m
C. 160 m
D. 200 m
提问时间:2021-01-15
答案
建立如图所示的直角坐标系,则A点坐标为(-1,0)、B点坐标为((1,0),C点坐标为(0,0.5),D点坐标为(0.2,0),F点坐标为(0.6,0),
设抛物线解析式为y=a(x-1)(x+1),把C(0,0.5)代入得a=-0.5,
所以抛物线解析式为y=-0.5x2+0.5,
当x=0.2时,y=-0.5×0.22+0.5=0.48,
当x=0.6时,y=-0.5×0.62+0.5=0.32,
所以DE=0.48,FP=0.32,
所以每段护栏需要不锈钢支柱的长度=2(DE+FP)=2×(0.48+0.32)=1.6(m),
所以100段护栏需要不锈钢支柱的总长度=100×1.6m=160m.
故选C.
设抛物线解析式为y=a(x-1)(x+1),把C(0,0.5)代入得a=-0.5,
所以抛物线解析式为y=-0.5x2+0.5,
当x=0.2时,y=-0.5×0.22+0.5=0.48,
当x=0.6时,y=-0.5×0.62+0.5=0.32,
所以DE=0.48,FP=0.32,
所以每段护栏需要不锈钢支柱的长度=2(DE+FP)=2×(0.48+0.32)=1.6(m),
所以100段护栏需要不锈钢支柱的总长度=100×1.6m=160m.
故选C.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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