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题目
选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,曲线L:ρsin2θ=2cosθ,过点A(5,α)(α为锐角且tanα=
3
4
)作平行于θ=
π
4
(ρ∈R)
的直线l,且l与曲线L分别交于B,C两点.
(Ⅰ)以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,取与极坐标相同单位长度,建立平面直角坐标系,写出曲线L和直线l的普通方程;
(Ⅱ)求|BC|的长.

提问时间:2021-01-15

答案
(Ⅰ)由题意得,点A的直角坐标为(4,3),
曲线L即 ρ2 sin2θ=2ρcosθ,它的普通方程为:y2=2x,
由于直线l的斜率为1,且过点A(4,3),故直线l的普通方程为:y-3=x-4,即y=x-1.
(Ⅱ)设B(x1,y1)、C(x2,y2),由
y2=2x
y=x−1
可得 x2-4x+1=0,
由韦达定理得x1+x2=4,x1•x2=1,
由弦长公式得|BC|=
1+k2
|x1x2|=2
6
(Ⅰ)先求的点A的直角坐标为(4,3),求得曲线L的普通方程为:y2=2x,由于直线l的斜率为1,且过点
A(4,3),由点斜式求得直线l的普通方程为y=x-1.
(Ⅱ)把曲线L的方程和直线l的方程联立方程组,化为一元二次方程,利用韦达定理求出x1+x24和x1•x2的值,再利用
弦长公式求得|BC|的值.

简单曲线的极坐标方程;直线与圆锥曲线的关系;点的极坐标和直角坐标的互化.

本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,弦长公式的应用,属于基础题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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