题目

如图,半径为1圆心角为3π|2圆弧AB上有一点C,当C为圆弧AB中点时,D为线段OA上任一点,
当C为圆弧AB中点时,D为线段OA上任一点,求|向量oc+向量OD|的最小值
第二问：当C在圆弧AB上运动时，D、E分别为线段OA、OB的中点，求向量CE*向量DE的取值范围

提问时间：2021-01-14

答案

注：以下不带绝对值“||”的OC等均表示向量.
(1)设|OD|=x,
则|OC+OD|²=|OC|²+|OD|²+2OC•OD=1+x²+2•1•x•cos135º=1+x²-(√2)x=(x-√2/2)²+1/2,
∴当x=√2/2时,|OC+OD|有最小值√2/2.
(2)设向量OC与向量DE的夹角为θ,则
CE•DE=(OE-OC)•DE=OE•DE-OC•DE=|OE|•|DE|•cos45º-|OC|•|DE|•cosθ
=(1/2)•(√2/2)•(√2/2) - 1•(√2/2)cosθ=1/4 - (√2/2)cosθ.
由条件可知45º≤θ≤180º,∴-1≤cosθ≤√2/2,
故向量CE*向量DE的取值范围是[-1/4,(1+2√2)/4].