题目

在平面直角坐标系xOy中,直线上l:ax+by+c=0与圆x^2+y^2=4交于A,B两点.
求：
（1）证明：如果a^2+b^2=c^2,那么向量OA*向量OB=-2.
（2）写出（1）中的命题的逆命题,证明它是真命题.

提问时间：2021-01-14

答案

(1)“向量OA*向量OB=-2”等价于“向量OA的模长*向量OB的模长*向量OA与向量OB的夹角的余弦函数值=-2”
设θ为向量OA与向量OB的夹角,a,b分别为向量OA的模长,向量OB的模长.
则a=b=2（等于圆的半径）.
若a^2+b^2=c^2,即c/[(a^2+b^2)^(1/2)]=1,即圆心O到直线l的距离为1.
即2*sin（90°-θ/2）=1;所以θ=120°,cosθ=-1/2
a*b*cosθ=2*2*(-1/2)=-2
证毕
(2)逆命题：如果向量OA*向量OB=-2,那么a^2+b^2=c^2.
若a*b*cosθ=-2,则cosθ=-0.5,θ=120°,即圆心O到直线l的距离为2*sin(30°)=1；根据点到直线距离公式,知圆心O到直线l的距离为c/[(a^2+b^2)^(1/2)]=1,即a^2+b^2=c^2.
证毕