题目

三角形ABC,角A:B=1:2,角ABC平分线CD把三角形面积分成3:2两部分,则COSA=?
角ACB,打错了，对不起，HELP ME

提问时间：2021-01-13

答案

首先先判断AD和BD哪个更长.
由于∠B>∠A,根据大角对大边定理,AC>BC,因此可以在AC里取一点M,使得CM=BC.利用边角边全等很容易证明△BCD和△MCD全等,则∠BDC=∠MDC,BD=MD.由于∠BDC=∠A+∠ACD,因此∠BDC>∠A.又由于∠AMD=∠MDC+∠ACD,因此∠AMD>∠MDC=∠BDC>∠A.则在△AMD中,再利用大角对大边原理,AD>MD,也即AD>BD.
由于∠ABC平分线CD把三角形面积分成3:2两部分,因此很容易得AD:BD=3:2.设AD=3x,BD=2x.过D分别作AC、BC的垂线段DE、DF,分别交AC、BC于E、F.则DE=DF.设DE=DF=y.则sinA=DE/AD=y/3x,sinB=DF/BD=y/2x.由于∠B=2∠A,利用二倍角定理,sinB=2sinAcosA.把上面两个等式代入,得：y/2x=2y*cosA/3x,化简得cosA=3/4.