题目

椭圆x^2/4+y^2/3=1上一点A(1,3/2),E,F为椭圆上两动点,AE斜率与AF斜率互为相反数,
证明EF斜率为定值,且求出定值为多少

提问时间：2021-01-13

答案

椭圆x^2/4+y^2/3=1上一点A(1,3/2),E,F为椭圆上两动点,AE斜率与AF斜率互为相反数,证明EF斜率为定值,且求出定值为多少
椭圆的顶点是（0,±√3）、（±2,0）；
标出A（1,3／2）,点A在椭圆上,并连接AE、AF
设AE的斜率为k（k≠0）,则AF的斜率为－k.（若k=0,则E、F为同一点,不符合题意）
又AE、AF经过A（1,3／2）
∴直线AE的方程为：y-3／2 = k（x-1） ①
直线AF的方程 y-3／2 =－k（x-1） ②
又椭圆方程为 x^2／4＋y^2／3 = 1 ,分别联立①、②并化简得：
（4k^2+3）x^2 +（－8k^2+12k）x +（4k^2-12k-3）= 0 ③
（4k^2+3）x^2 -（8k^2＋12k）x +（4k^2+12k-3）= 0 ④
∴由③得：（x-1）*[（4k^2+3)x -（4k^2-12k-3）] = 0
∴x = 1 或 x=（4k^2-12k-3）／（4k^2+3）
(1）当x=1时,y=3／2,显然是点A（1,3／2）
(2）当x=（4k^2-12k-3）／（4k^2+3）时,y=（3／2）-（12k^2+6k）／（4k^2＋3）
即：点E[（4k^2-12k-3）／（4k^2+3）,（3／2）-（12k^2+6k）／（4k^2+3）]
∴由④得：（x-1）*[（4k^2+3)x-（4k^2+12k-3）] = 0
∴x = 1 或 x=（4k^2+12k-3）／（4k^2+3）
1）当x=1时,y=3／2,显然是点A（1,3／2）
2）当x=（4k^2+12k-3）／（4k^2+3）时,y=（3／2）-（12k^2－6k）／（4k^2+3）
即：点F[（4k^2+12k-3）／（4k^2+3）,（3／2）-（12k^2-6k）／（4k^2+3）]
∴EF的斜率k = { [（3／2）-（12k^2-6k）／（4k^2＋3））]-[（3／2）-（12k^2+6k）／（4k^2+3）]}/{[（4k^2+12k-3）／（4k^2+3）]-[（4k^2-12k-3）／（4k^2+3）]}
=[12k／（4k²＋3）]/[24k／（4k²+3）]
又k≠0
∴EF的斜率k=1／2 ,即EF的斜率为定值1／2.