题目

已知函数y=f（x）在定义域[-1，1]上是奇函数，又是减函数．
（1）证明：对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，有[f（x₁）+f（x₂）]（x₁+x₂）≤0
（2）解不等式f（1-a）+f（1-a²）＜0．

提问时间：2021-01-13

答案

（1）若x₁+x₂=0，显然不等式成立；
若x₁+x₂＜0，则-1＜x₁＜-x₂＜1，∵函数y=f（x）在定义域[-1，1]上是奇函数，又是减函数，
∴f（x₁）＞f（-x₂）=-f（x₂），f（x₁）+f（x₂）＞0，故原不等式成立；
同理可证当x₁+x₂＞0  时，原不等式也成立．
（2）由f（1-a）+f（1-a²）＜0 和已知可得以下不等式组

−1≤1−a2≤1 −1≤a−1≤1 1−a2＞a−1

解得 0≤a＜1．

（1）分类讨论，分x₁+x₂=0、若x₁+x₂＜0、x₁+x₂＞0 三种情况，证明（x₁+x₂）与[f（x₁）+f（x₂）]符号相反．
（2）利用函数的定义域和单调性列出不等式组，求出解集．

本题考点：奇偶性与单调性的综合；函数单调性的性质．

考点点评：本题综合考查函数的定义域、单调性和奇偶性．