题目

如图,在△ABC中,已知∠BAC=90°,AB=AC,D是BC上的一点,求证：BD²+CD²=2AD²
如题

提问时间：2021-01-12

答案

证明：作AE⊥BC于E,如上图所示：
由题意得：ED=BD-BE=CE-CD,
∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,
∴BE=CE=1/2BC,
由勾股定理可得：
AB2+AC2=BC2,
AE2=AB2-BE2=AC2-CE2,
AD2=AE2+ED2,
∴2AD2=2AE2+2ED2=AB2-BE2+（BD-BE）2+AC2-CE2+（CE-CD）2
=AB2+AC2+BD2+CD2-2BD×BE-2CD×CE
=AB2+AC2+BD2+CD2-2×1/2BC×BC
=BD2+CD2,
即：BD2+CD2=2AD2．