题目

已知|x|≤1,|y|≤1,求证：|x+y/1+xy|≤1.
已知|x|≤1,|y|≤1,求证：|x+y/1+xy|≤1.
求证：|（x+y）/（1+xy）|≤1.

提问时间：2021-01-12

答案

本题采用分析法
要证：|x+y/1+xy|≤1
只需证：|x+y|≤|1+xy|
只需证：（x+y)^2≤(1+xy)^2
只需证：x^2+y^2+2xy≤1+x^2y^2+2xy
只需证：x^2+y^2≤1+x^2y^2
只需证：x^2-1≤x^2y^2-y^2
只需证：x^2-1≤（x^2-1）y^2
只需证：（x^2-1）（1-y^2)≤0
因为|x|≤1,|y|≤1
所以：x^2≤1,y^2≤1
所以x^2-1≤0,1-y^2>=0
所以：（x^2-1）（1-y^2)≤0
得证.