题目

已知：抛物线Y=ax的平方+(1-a)x+(5-2a)与X轴负半轴交于点A,与X轴正半轴交于点B,与Y轴交于点C,tan角CAO-tan角CBO=2 .
（1）当抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）当线段OB与线段OC长度相等时,在抛物线的对称轴上取一点P,以点P为圆心作圆,使它与X轴和直线BD都相切,求点P的坐标 .

提问时间：2021-01-11

答案

三角形ACO和三角形和BOC是直角三角形
所以 tg角AOC=CO/AO
tg角BOC=CO/BO
所以tg角AOC-tg角BOC= CO/AO-CO/BO=CO(BO-A0)/(AO*BO)
设 A点坐标为(x1,0),B点坐标为(x2,0) 且 x10
所以 AO的长度为 -x1,BO的长度为 x2
C点坐标为(0,5-2a)
所以CO长度为 |5-2a|
所以 tg角AOC-tg角BOC=|5-2a|[x2-(-x1)]/[(-x1)*x2)=|5-2a|(x1+x2)/(-x1*x2)
因为A点B点分别为方程与X轴的交点,那么也就是说A点和B点的X坐标相当于二次方程 ax^2+(1-a)x+(5-2a)=0的两个根
根据韦达定理
所以 x1+x2=-(1-a)/a= (a-1)/a
x1*x2=(5-2a)/a
分两种情况,
当a>0时,抛物线开口向上,与Y轴负半轴相交,此时(5-2a)5/2,此时CO长度为2a-5
所以tg角AOC-tg角BOC=(2a-5)*(x1+x2)/(-x1*x2)
将上面的带进去 (2a-5)*[(a-1)/a]/[-(5-2a)/a]=2
算出来 a=3
此时方程为 y=3x^2-2x-1
此时顶点D的坐标为 (1/3,-4/3)
当a0,即 a