题目

设X服从区间(0,4)上的均匀分布,随机变量Y=X^2-2X-3,求Y的密度函数
请务必详细说下Y的分布函数分段原则,就是如何根据X的分布函数确定Y的分布函数,针对这道题请详细说下,也请务必针对求Y分段的通法谈下,这类问题总是把握不好.

提问时间：2020-08-07

答案

此类问题,首先根据X的取值来确定Y的取值范围,就本题来说,Y的取值范围为(-4,5)；然后做出Y的图像；下面求分布函数：Y分段的通法 先考虑简单的场合：自变量y小于Y的最小值和大于等于Y的最大值时的两个简单情况,然后考虑自变量y的值介于最小最大之间时Y<=y对应的随机变量X的取值情况,这时往往要结合Y的图像,具体分析,可能还要将y的取值划分的更细.本题：
F_Y(y)=P{Y<=y}
y<=-4,  F_Y(y)=P{Y<=y}=0;  因为此时{Y<=y}不可能;
 
y>=5,F_Y(y)=P{Y<=y}=1; 因为此时{Y<=y}必然;
 
-4<y<=-3,F_Y(y)=P{Y<=y}=P{X^2-2X-3<=y}=P{(X-1)^2-4<=y}=P{1-根号下4+y<=X<=1+根号下4+y}
=F_X(1+根号下4+y)-F_X(1-根号下4+y)=(根号下4+y)/2;
 
-3<y<5,F_Y(y)=P{Y<=y}=P{X^2-2X-3<=y}=P{(X-1)^2-4<=y}=P{0<X<=1+根号下4+y}
 
=F_X(1+根号下4+y)-F_X(0)=F_X(1+根号下4+y)=(1+根号下4+y)/4.
 
这种题目要结合图像,多做些练习.