题目

（1）操作：如图1所示，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．
（2）尝试：如图2、3，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a的正三角形或边长为a的正五边形的中心点处，并将纸板绕O旋转．当扇形纸板的圆心角为 ___ 时，正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值a；当扇形纸板的圆心角为 ___ 时，正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a．
（3）探究：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，若将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为 ___ 时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．

提问时间：2021-01-11

答案

（1）如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD分别交于点M、N，
连结OA、OD．
∵四边形ABCD是正方形
∴OA=OD，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO=45°，
又∵∠MON=90°，
∴∠AOM=∠DON，
在△AMO与△DNO中，

∠MAO=∠NDO OA=OD ∠AOM=∠DON

，
∴△AMO≌△DNO（ASA），
∴AM=DN，
∴AM+AN=DN+AN=AD=a．
特别地，当点M与点A（点B）重合时，点N必与点D（点A）重合，
此时AM+AN仍为定值a．
故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．
（2）在等边△ABC中，连接OB，OC，当△OCE≌△OBD时，有OD+OE+CD+CE+OB+OC+BC为定值．此时∠DOE=∠BOC=360°÷3=120°．
同理在正五边形中，∠FOG=∠DOE=360°÷5=72°．
（3）由（1）、（2）可知，圆心角为

360°

n

是定值．
故答案为：120°；72°；

360°

n

．

（1）设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD分别交于点M、N，连结OA、OD，根据ASA定理得出△AMO≌△DNO，故可得出AM=DN，由此可得出结论；
（2）连接OB，OC，同（1）可得△OCE≌△OBD时，有OD+OE+CD+CE+OB+OC+BC为定值，故可得出圆心角的度数；
（3）根据（1）、（2）即可直接得出结论．

本题考点：几何变换综合题．

考点点评：本题考查的是几何变换综合题，涉及到全等三角形的判定与性质、正三角形、正五边形的性质等知识，难度适中．