题目

如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°，试证明S_△AEF=S_△ABE+S_△ADF．

提问时间：2021-01-11

答案

证明：延长CD到M，使DM=BE，连接AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠B=∠BAD=∠ADC=∠ADM=90°，
∵在△ABE和△ADM中，

AB＝AD ∠B＝∠ADM BE＝DM

∴△ABE≌△ADM（SAS），
∴AM=AE，S_△ABE=S_△ADM，
∠MAD=∠EAB，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠FAD+∠MAD=45°，
即∠MAF=45°=∠EAF，
∵在△EAF和△MAF中

AF＝AF ∠EAF＝∠MAF AE＝AM

∴△EAF≌△MAF（SAS），
∴S_△EAF=S_△MAF，
∵S_△MAF=S_△DAF+S_△MAD=S_△ADF+S_△ABE，
∴S_△AEF=S_△ABE+S_△ADF．

延长CD到M，使DM=BE，连接AM，证△ABE≌△ADM，AM=AE，S_△ABE=S_△ADM，∠MAD=∠EAB，求出∠MAF=45°=∠EAF，证出△EAF≌△MAF即可．

本题考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．

考点点评：本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的面积相等，正方形的每个角都是直角，且四条边都相等．