题目

在三角形ABC中,有一内接矩形DEFG,已知BC=a,BC边上的高AH=h,则矩形DEFG的最大

提问时间：2021-01-11

答案

在三角形ABC中,BC＝a,高AH＝h,设AH交GF于K,DE＝x,KH＝m,显然GD＝EF＝m
容易知道△AGF∽△ABC,而相似三角形对应高的比等于相似比,
所以可得：AK：AH＝GF：BC
即：(h－m)：h＝x：a
求出 m＝(ah－hx)/a
所以
S矩形GDEF＝GD*GF
＝x(ah－hx)/a
即 y 关于x 的函数关系式是：
y＝x(ah－hx)/a
即：y＝(－x^2＋ax)h/a
(x的取值范围是 0＜x＜a)
根据二次函数最大值公式知
当x＝a/2时,S最大＝ah/4
(即最大面积是三角形ABC面积的一半）