题目

已知f(x)=x lnx,当a>0,b>0时,求证：f(a)+f(b)>=f(a+b)-(a+b)ln2

提问时间：2021-01-11

答案

f(a+b)-(a+b)ln2=2f[(a+b)/2]
f(x)'=lnx+1
f(x)''=1/x
由题意得x>0
∴f(x)''>0
∴f(x)是下凸函数
根据中值定理,下凸函数[f(a)+f(b)]/2>=f[(a+b)/2]
∴f(a)+f(b)>=f(a+b)-(a+b)ln2
得证