题目

已知实数a是常数,．当x>1时,是增函数． （I）求a的取值范围； （II）设n是正整数,证明：
已知实数a是常数，f(x)=(x+a)^2-7lnx+1,当x>1时，f(x)是增函数
（I）求a的取值范围；
（II）设n是正整数，证明：1/7乘（1+1/2^2+...+1/n^2）+(1+1/2+...+1/n)>ln(n+1)

提问时间：2021-01-10

答案

（1）
f(x)=(x+a)^2-7lnx+1
f'(x)=2(x+a)-7/x
=(2x2+2ax-7)/x
对称轴-2a/4=-a/2
-a/2≤1 a≥-2 2+2a-7≥0 a∈{5/2,+无穷）
-a/2＞1 a＜-2 -a2/2-7≥0 （舍）
故a∈{5/2,+无穷）
（2）
(1+1/2+...+1/n)>ln(n+1)已经成立了
已知x≥ln(1+x),x=0取等
1>ln(1+1)
1/2>ln(1+1/2)
1/3>ln(1+1/3)
.1/n>>ln(1+1/n)
累加得1+1/2+1/3+...+1/n>ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+...+ln(1+1/n)=ln(2×3/2×4/3×...×（1+n）/n)=ln(n+1)