题目

√（1+（1/1^2)+(1/1^2))+√(1+(1/2^2)+(1/3^2))+√（1+（1/3^2)+(1/4^2））+……+√(1+(1/2007^2)+(1/2008^2))

提问时间：2021-01-10

答案

√(1+1/1²+1/2²)+√(1+1/2²+1/3²)+√（1+1/3²+1/4²）+……+√(1+1/2007²+1/2008²)
先推导公式：√[1+1/n²+1/(n+1) ² = √{[n² (n+1)²+n²+(n+1)²]/[n² (n+1)²]}= √{ (n²+n+1) ²/ [n² (n+1)²]}= (n²+n+1)/ [n (n+1)]=1+1/n-1/(n+1)
故：√(1+1/1²+1/2²)=1+1/1-1/2
√(1+1/2²+1/3²)=1+1/2-1/3
√（1+1/3²+1/4²）=1+1/3-1/4
……
√(1+1/2007²+1/2008²)=1+1/2007-1/2008
故：√(1+1/1²+1/2²)+√(1+1/2²+1/3²)+√（1+1/3²+1/4²）+……+√(1+1/2007²+1/2008²)
=1+1/1-1/2+1+1/2-1/3+1+1/3-1/4+….+ 1+1/2007-1/2008
=1×2007+1/1-1/2008
=2007又2007/2008 （即：2007+2007/2008）