题目

设p是素数,a是整数,(a,p)=1,证明:存在整数u,v,(u,v)=1,使u^2+a*u^2=0(modp)的充要条件是-a是模p的二次剩余

提问时间：2021-01-10

答案

充分性：因为 -a 是模 p 的二次剩余,因此方程 x^2≡ -a(mod p) 有解,
设 u^2≡ -a(mod p) ,
则 u^2+a≡u^2+a*1^2≡0(mod p) .因此存在整数 u、v 满足条件.
必要性：由（u,v）=1 及 u^2+a*v^2≡0(mod p) 得 （p,v）=1 ,
因此存在整数 v1 使 vv1≡1(mod p) ,
在已知等式中,两边同乘以 v1^2 得 (uv1)^2+a(vv1)^2≡(uv1)^2+a≡0(mod p) ,
即 (uv1)^2≡ -a(mod p) ,
这说明 -a 是模 p 的二次剩余 .