题目

设平面α∩平面β=MN,点A∈α,点B∈直线MN,AB=6,∠ABM=45°,且点A到平面β的距离为3,则点A在β内的射影C到平面α的距离等于

提问时间：2021-01-10

答案

在α平面作AD⊥MN,C是A点在β平面的射影,连结CD,BC,
AB=6,〈ABD=45度,三角形ABD是等腰RT三角形,
AD=BD=6*√2/2=3√2,
AC⊥平面β,BC∈β,
AC⊥BC,根据勾股定理,
BC=√（AB^2-AC^2)=3√3,
根据三垂线定理,CD⊥MN,
CD=√（AD^2-AC^2)=3,
V三棱锥A-BCD=S△BCD*AC/3=（3*3√2/2）*3/3
=9√2/2,
设C点至平面α距离为d,
V三棱锥C-ABD=S△ABD*d/3=d*3√2*(3√2)/2/3
=3d,
V三棱锥A-BCD=V三棱锥C-ABD,
3d=9√2/2,
d=3√2/2.
点A在β内的射影C到平面α的距离等于3√2/2.