题目

如图80408,正方形ABCD的边长为2a,H是以BC为直径的半圆上的一点,过H与半圆相切的直线交AB于点E,交CD于点F,①当H在半圆上移动时,切线EF在AB、CD上的两个交点分别在AB、CD上移动(E与A不重合,F与D不重合),试问四边形AEFD的周长是否也在变化?请证明你的结论；②若∠BEF=60°,求四边形BCFE的周长；③设四边形BCFE的面积为S1,正方形ABCD的面积为S.
当H在什么位置时,S1＝1324 S.
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提问时间：2021-01-09

答案

（1）由题意知,AB、CD、EF都与半圆相切,
∴EH=EB,FH=CF．
∴四边形AEFD的周长=AE+EH+HF+DF+AD=AE+EB+FC+DF+AD=6a．
∴四边形AEFD的周长是定值,没有变化．
（2）∵EO平分∠BEH,FO平分∠CFH,
∴OF⊥EO．
∵∠EOB、∠OFC同为∠FOC的余角,∴∠EOB=∠OFC．
又∠EBO=∠OCF=90°,
∴△EBO∽△OCF．
∴ ,即EB•CF=OC•OB=a2…①
∵S1+S2= S,
∴ OB•BE+ OC•CF= •4a2．
即BE+CF= a…②
解①②得BE= a,FC= a；或BE= a,FC= a．