题目

f(x)=ax²-lnx,对任意的x∈(0,e,]f(x)≥3恒成立,求实数a的取值范围

提问时间：2021-01-09

答案

f(x)=ax²-lnx,对任意的x∈(0,e,]f(x)≥3恒成立,求实数a的取值范围
定义域：x>0；
由f'(x)=2ax-(1/x)=(2ax²-1)/x可知：当a≦0时对任何x>0,都有f'(x)0,这与规定的条件a≦0矛盾,故此情况不
存在.
当a>0时,由2ax²-1=0,得x²=1/(2a),于是得驻点x=√(1/2a)；当x0,故x=√(1/2a)是极小点,f(x)的极小值=f[√(1/2a)]=a(1/2a)-ln[√(1/2a)]=1/2-(1/2)[-ln(2a)]
=1/2+(1/2)ln(2a)≥3,即有1+ln(2a)≥6,ln(2a)≥5,ln2+lna≥5,lna≥5-ln2,故得a≥e^(5-ln2)
=(1/2)e^5,即a∈[(1/2)e^5,+∞）,这就是a的取值范围.