题目

定义在R上的单调函数f(x)满足f(-3)=log2（3）且对任意xy属于R都有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明
（2） 若对于任意t∈（0,2）,不等式f（2t-3t²）+f（t²-k）＜0 恒成立 求实数k的取值范围

提问时间：2021-01-09

答案

（1）f(x)是奇函数
f(0+0)=f(0)+f(0)
得f(0)=0.
令y=-x,
得f(0)=f(x)+f(-x)
f(-x)=-f(x)
∴f（x）为奇函数.
(2)
∵f(x)是单调函数
-30=f(0)
∴f(-3)>f(0)
∴f(x)是减函数
f（2t-3t²）+f（t²-k）＜0
f(2t-3t²)＜-f(t²-k)
f（x）为奇函数
∴f(2t-3t²)＜f(-t²+k)
∴2t-3t²>-t²+k
-2t²+2t>k
设g(t)=-2t²+2t,t∈（0,2）
对称轴t=1/2
t=2离t=1/2最远
∴g(t)最小值=g(2)=-8+4=-4
∵t∈（0,2）,取不到2
∴g(t)>-4
∴k≤-4
实数k的取值范围 ：k≤-4