题目
如图,C是线段AB上一点,△ACD和△BCE都是等边三角形,AE交CD于点M,BD交CE于点N,交AE于点O,求证:
(1)∠AOB=120°;
(2)CM=CN;
(3)MN∥AB.
(1)∠AOB=120°;
(2)CM=CN;
(3)MN∥AB.
提问时间:2021-01-09
答案
证明:(1)∵△ACD和△BCE都是等边三角形,
∴AC=CD,CE=CB,∠ACD=∠BCE=60°,
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,
∴∠ACE=∠DCB,
在△ACE和△DCB中,
,
∴△ACE≌△DCB(SAS),
∴∠CAM=∠CDN,
∵∠ACD=DAC=∠BCE=∠CBE=60°,∠ACB是一个平角,
∴∠DCE=60°,
∴AD∥CE,DC∥BE,
∵AD∥CE,
∴∠DAM=∠AEC,
∵DC∥BE,
∴∠NDC=∠EBO,
∴∠EBO=∠CAM
∴∠AOB=∠OEB+∠EBO=∠AEC+∠CEB+∠EBO=∠DAE+∠CEB+∠CAM=∠DAC+∠CEB=60°+60°=120°;
(2)在△ACM和△DCN中,
,
∴△ACM≌△DCN(ASA),
∴CM=CN;
(3)∵CM=CN,∠DCE=60°,
∴△MCN为等边三角形,
∴∠MNC=60°,
∴∠MNC=∠ECB=60°,
∴MN∥AB.
∴AC=CD,CE=CB,∠ACD=∠BCE=60°,
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,
∴∠ACE=∠DCB,
在△ACE和△DCB中,
|
∴△ACE≌△DCB(SAS),
∴∠CAM=∠CDN,
∵∠ACD=DAC=∠BCE=∠CBE=60°,∠ACB是一个平角,
∴∠DCE=60°,
∴AD∥CE,DC∥BE,
∵AD∥CE,
∴∠DAM=∠AEC,
∵DC∥BE,
∴∠NDC=∠EBO,
∴∠EBO=∠CAM
∴∠AOB=∠OEB+∠EBO=∠AEC+∠CEB+∠EBO=∠DAE+∠CEB+∠CAM=∠DAC+∠CEB=60°+60°=120°;
(2)在△ACM和△DCN中,
|
∴△ACM≌△DCN(ASA),
∴CM=CN;
(3)∵CM=CN,∠DCE=60°,
∴△MCN为等边三角形,
∴∠MNC=60°,
∴∠MNC=∠ECB=60°,
∴MN∥AB.
(1)根据等边三角形的性质得到AC=CD,CE=CB,∠ACD=∠BCE=60°,则可得到∠ACE=∠DCB,根据全等三角形的判定方法可得到△ACE≌△DCB,于是有∠CAM=∠CDN,由于∠ACD=DAC=∠BCE=∠CBE=60°,可得∠DCE=60°,则AD∥CE,DC∥BE,利用平行线的性质得到∠DAM=∠AEC,∠NDC=∠EBO,得出∠EBO=∠CAM,根据三角形的外角的性质即可求得;
(2)根据全等三角形的判定方法可得到△ACM≌△DCN,则CM=CN;
(3)根据等边三角形的判定方法即可得到△MCN为等边三角形,得出∠MNC=∠ECB=60°,根据内错角相等两直线平行得出MN∥AB.
(2)根据全等三角形的判定方法可得到△ACM≌△DCN,则CM=CN;
(3)根据等边三角形的判定方法即可得到△MCN为等边三角形,得出∠MNC=∠ECB=60°,根据内错角相等两直线平行得出MN∥AB.
全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质.
此题考查了全等三角形的判定与性质,以及等边三角形的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.
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