题目

证明!图论!
证明：图G是连通的平面图,其点数为n,边数为e,则n-e+f=2

提问时间：2021-01-09

答案

可以用归纳法证明.假设归纳面数f,
f=1,就是一个简单只有一个面的情况,好证明.
假设f>=3,想象平面图里最外的一个面F,它有一部分连续的边e1-n1-e2-n2-...-n_(p-1)-e_p（这里e代表边的编号,n代表点的编号,可以看出这个串里,边数比点数多1）.如果去掉这部分的话,将抹去这个面F（和外部打通）.假设抹掉这些边,在这个情况下,显然f减去了1.而n-e增加了1,所以n-e+f的值不变,可以继续用归纳假设.n-e增加1是因为这些连续边的两个端点留着,当中的点n被抹掉,而当中的边e也被抹掉,所以n-e是增加了1.可以不太容易讲清楚,但是就是这个意思,用归纳法,希望有用.