题目

是谁最先使用了反证法?

提问时间：2021-01-08

答案

芝诺（前490?—前430?）是（南意大利的）爱利亚学派创始
人巴门尼德的学生,他企图证明该学派的学说：“多”和“变”是虚
幻的,不可分的“一”及“静止的存在”才是唯一真实的.运动只是
假象.于是他设计了四个例证,人称“芝诺悖论”.这些悖论主要是
从哲学角度提出的.我们只从数学角度看其中的一个悖论.
1. 四个芝诺悖论之一：阿基里斯追不上乌龟（画图说明）
2. 症结：无限段长度的和可能是有限的；无限段时间的和可能
是有限的.
例如无穷递缩等比数列的和就是一个有限数.
3. 贡献（意义）：
1）促进了严格、求证数学的发展
芝诺悖论的矛头虽然不是针对数学,对当时的数学也没有构成威
胁,但对数学的发展却产生了重要的影响.因为数学是以严格的求证
思想为基础的,而芝诺悖论恰恰促进了精确的、严格的逻辑思维的发展.
2）最早的“反证法”及“无限”的思想
芝诺论证问题使用的方法就是今天数学中的反证法.“设甲若能
追上乙,则首先应到达乙目前所在的位置”.这大概是有文字记载的
最早的反证法.
与前面所讲的方法不同,反证法是属于“间接证明法”一类,是从反面的角度思考问题的证明方法,即：肯定题设而否定结论,从而导出矛盾推理而得.法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论,就会导致矛盾”.具体地讲,反证法就是从否定命题的结论入手,并把对命题结论的否定作为推理的已知条件,进行正确的逻辑推理,使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛,矛盾的原因是假设不成立,所以肯定了命题的结论,从而使命题获得了证明.
　　反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思维过程中,两个互相矛盾的判断不能同时都为真,至少有一个是假的,这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假,简单地说“A或者非A”,这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中,得到矛盾的判断,根据“矛盾律”,这些矛盾的判断不能同时为真,必有一假,而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的,所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”,结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假,必有一真,于是我们得到原结论必为真.所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的,反证法是可信的.
　　反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”.即从否定结论开始,经过正确无误的推理导致逻辑矛盾,达到新的否定,可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”.应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立.实施的具体步骤是：
　　第一步,反设：作出与求证结论相反的假设；
　　第二步,归谬：将反设作为条件,并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；
　　第三步,结论：说明反设不成立,从而肯定原命题成立.
　　在应用反证法证题时,一定要用到“反设”进行推理,否则就不是反证法.用反证法证题时,如果欲证明的命题的方面情况只有一种,那么只要将这种情况驳倒了就可以,这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种,那么必须将所有的反面情况一一驳倒,才能推断原结论成立,这种证法又叫“穷举法”.
　　在数学解题中经常使用反证法,牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”.一般来讲,反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显.具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题,改变其思维方向,从结论入手进行反面思考,问题可能解决得十分干脆.