题目

已知函数y=(1/2)的x2-4x+1,求函数的单调区间及值域

提问时间：2021-01-08

答案

你是对的,也不全对,8是闭区间.
y=(1/2)^(x^2-4x+1)=2^(-x^2+4x-1)=2^(-(x-2)^2+3)
该函数是指数函数y=2^u和二次函数u=-(x-2)^2+3的复合函数
指数函数是增函数,二次函数对称轴x=2,开口向下
当x∈(-inf,2]时,二次函数是增函数,故原函数的增区间：x∈(-inf,2]
当x∈[2,+inf)时,二次函数是减函数,故原函数的减区间：x∈[2,+inf)
由上面的推导得：当x=2时,函数取得最大值：ymax=2^3=8
当x趋于+inf和-inf时,u=-(x-2)^2+3趋于-inf,由指数函数性质知：
此时2^u趋于0,所以函数的值域：y∈(0,8]