题目

如图,已知：△ABC中,AB＝5,BC＝4,AC＝3PQ//AB,P点在AC上（与点A、C不重合）,Q点在BC上．（l）当△PQ
当△PQC的面积与四边形PABQ
的面积相等时,求CP的长；（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长；（3）试问：在AB上是否存在点M,使得△PQM为等腰直角三角形?若不存在,请简要说明理由；若存在,请求出PQ的长．

提问时间：2021-01-07

答案

（1)因为△ABC中的AB=5,BC=4,AC=3,
∴△ABC是直角三角形,面积S=3×4÷2=6.
当△PQC面积=四边形PABQ面积时,
△PQC面积S=3.
设PC=3x,QC=4x,
S=3x×4x÷2=3
x²=1/2,
x=√2/2.
CP=3x=3√2/2.
（2）设PC=3x,PA=3-3x,
QC=4x,QB=4-4x,
由PQ是公共边,∴3x+4x=3-3x+4-4x+5
x=6/7,∴CP=3x=16/7.
（3）①当PM=PQ,且PM⊥PQ时：
由PC=3x,QC=4x,∴PQ=PM=5x,
∵△PCQ∽△AMP,
∴AP/PQ=PM/QC,
（3-3x）/5x=5x/4x.
x=12/37,PQ=5x=60/37.
②当QM=PQ,QM⊥PQ时：
BQ/PQ=QM/PC,
（4-4x）/5x=5x/3x
x=12/37,PQ=5x=60/37.
③当PM=QM,且PM⊥QM时：
M到PQ距离MN是PQ的一半,（将MN平移到MP（N到P）
（3-3x）/5x=2.5x/4x,
x=24/29,PQ=5x=120/29.