题目

若a是1+2b与1-2b的等比中项，则

2ab

|a|+2|b|

的最大值为______．

提问时间：2021-01-06

答案

a是1+2b与1-2b的等比中项，则a²=1-4b²⇒a²+4b²=1≥4|ab|．
∴|ab|≤

1

4

．
∵a²+4b²=（|a|+2|b|）²-4|ab|=1．
∴

2ab

|a|+2|b|

≤

2|ab|

1+4|ab|

=

4 ( 1 |ab| +2)2−4

∵|ab|≤

1

4

∴

1

|ab|

≥4，
∴

2ab

|a|+2|b|

的最大值为

4 32

=

2

4

．
故答案为：

2

4

．

由a是1+2b与1-2b的等比中项得到4|ab|≤1，再由基本不等式法求得

2ab

|a|+2|b|

的最大值．

本题考点：等比数列的性质．

考点点评：本题考查等比中项以及不等式法求最值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．