题目

x=2+3cosθ,y=-1+3sinθ; 求：①X+Y的最值；②X^2+Y^2最值； ③求（X,Y）到3X+4Y-1=0的距离的最值；

提问时间：2021-01-06

答案

1)X+Y=1+3cosθ+3sinθ
用辅助角
=1+3根号2 sin(θ+π/4)
所以
最大值为1+3根号2,此时sin(θ+π/4)=1,θ=2kπ+π/4
最小值为1-3根号2,此时sin(θ+π/4)=-1,θ=2kπ-3π/4
2）X^2+Y^2=14+12cosθ-6sinθ
继续辅助角,tan t=6/12=1/2
=14+6根号5 cos(θ+t)
最大值为14+6根号5,最小值14-6根号5
最大值时 cos(θ+t)=1,θ=2kπ-arctan (1/2)
最小值时 cos(θ+t)=-1,θ=(2k+1)π-arctan (1/2)
3) （X,Y）到3X+4Y-1=0的距离
=|3X+4Y-1|/根号(3^2+4^2)
=|3X+4Y-1|/5
3X+4Y-1
=1+9cosθ+12sinθ
继续辅助角
=1+15sin(θ+37°)
|1+15sin(θ+37°)|的最小值为0,此时距离=0,sin(θ+37°)=-1/15,θ=2kπ+arcsin(-1/15)-37°
|1+15sin(θ+37°)|的最大值为16,此时距离=16/5,sin(θ+37°)=1,θ=2kπ+π/2-37°
[0,16/5]