题目

证明：每个有限半群至少有一个幂等元

提问时间：2021-01-06

答案

任取一个元素a,考虑 a,a^2,a^(2^2),...,a^(2^n),...
因为是有限半群,一定存在 m>n>= 0 使得 a^(2^n)=a^(2^m)
==》 a^(2^n + 2^m - 2*2^n)=a^(2^m + 2^m - 2*2^n)
a^(2^m -2^n) = a^(2((2^m -2^n))=（a^(2^m -2^n))^2
所以 a^(2^m -2^n) 是 幂等元