题目

已知数列{an}中,an>0,s=a1+a2+.+an,且an=6sn/(an+3),求sn

提问时间：2021-01-06

答案

这道题不是很难,主要用到一步转换,即an=Sn-S(n-1),
an=6Sn/(an+3),即(an)^2+3an=6Sn,递推一项得[a(n-1)]^2+3a(n-1)=6S(n-1)
所以两式相减,整理得明显而关键的一个式子：
[an-a(n-1)][an+a(n-1)]=3[an+a(n-1)],因为an>0,所以得到an-a(n-1)=3
那就是你很熟悉的等差数列了.首项由题目给出的递推式得a1=3（a1=S1）
所以an=3+3(n-1)=3n,所以Sn=[3n(n-1)]/2.
有时遇到类似的题目,就应该马上想到an=Sn-S(n-1),通常用Sn代换an,有时也用an来代换Sn,依情况而定,尝试将递推式转化成等差或等比数列,求解就容易多了.