题目

设x=a+b-c，y=a+c-b，z=b+c-a，其中a，b，c是待定的质数，如果x²=y，

z

−

y

＝2，试求积abc的所有可能的值．

提问时间：2021-01-05

答案

因为a+b-c=x，a+c-b=y，b+c-a=z，联立解得（a，b，c）=（12(x+y)，12(x+z)，12(y+z)）（5分）又y=x2，于是有：a＝12(x+x2)，（1）b=12（x+z），（2）c＝12(x2+z)，（3）由（1）解得x=−1±1+8a2（4）因x是整数，得1+...

首先把x当作已知数，则a，b，c都可以利用x表示出来，可以得到x=

−1± 1+8a

2

，根据x是整数，则1+8x一定是一个平方数，设1+8a=T²，其中T是正奇数，即2a＝

T−1

2

•

T+1

2

，根据a是质数，即可求得T的值．从而求得x的值，进而求解．

本题考点：质数与合数．

考点点评：本题主要考查了质数的性质，根据质数的性质求得T的值是解决本题的关键．