题目
已知函数f(x)=loga(根号下(x^2+m)+x)(a>0且a≠1)为奇函数 (1)求实数m的值 (2)判断
f(x)的单调性并加以证明
f(x)的单调性并加以证明
提问时间:2021-01-05
答案
f(x)=loga(√(x²+m)+x)
-f(x)=-loga(√(x²+m)+x)
f(-x)=loga(√(x²+m)-x)
∵函数f(x)为奇函数
∴f(-x)=-f(x)
即 loga(√(x²+m)-x)=-loga(√(x²+m)+x)
或 (√(x²+m)-x)=1/(√(x²+m)+x)
(x²+m)-x²=1
∴ m=1
f(x)=loga(√(x²+1)+x)
f'(x)=1/[lna(√(x²+1)+x)]*[x/√(x²+1)+1]
令 f'(x)=0 x=-√(x²+1) 不成立
∴ 函数在其定义域内无拐点
且 f'(x)>0 函数单调递增
-f(x)=-loga(√(x²+m)+x)
f(-x)=loga(√(x²+m)-x)
∵函数f(x)为奇函数
∴f(-x)=-f(x)
即 loga(√(x²+m)-x)=-loga(√(x²+m)+x)
或 (√(x²+m)-x)=1/(√(x²+m)+x)
(x²+m)-x²=1
∴ m=1
f(x)=loga(√(x²+1)+x)
f'(x)=1/[lna(√(x²+1)+x)]*[x/√(x²+1)+1]
令 f'(x)=0 x=-√(x²+1) 不成立
∴ 函数在其定义域内无拐点
且 f'(x)>0 函数单调递增
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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