题目

长方体的长、宽、高分别为正整数a•b•c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，那么这个长方体的体积为______．

提问时间：2021-01-05

答案

由已知得：
a+b+c+ab+ac+bc+abc
=（a+ab）+（ac+abc）+（c+bc）+b
=a（1+b）+ac（1+b）+c（1+b）+（1+b）-1
=（1+b）（a+ac+c+1）-1
=（1+b）[（a+ac）+（c+1）]-1
=（1+b）[a（1+c）+（1+c）]-1
=（1+b）（a+1）（1+c）-1
=（1+a）（1+b）（1+c）-1=2006
所以（1+a）（1+b）（1+c）=2007=3×3×223
由于题目只是求体积abc的值，所以不必讨论a、b、c的大小顺序，可得：
1+a=3，
1+b=3，
1+c=223，
解得：a=2，b=2，c=222．
因此，体积=abc=2×2×222=888．
故答案为：888．