题目

二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，如图所示，AC=2

5

，BC=

5

，∠ACB=90°，求二次函数图象的关系式．

提问时间：2021-01-05

答案

∵AC=2

5

，BC=

5

，∠ACB=90°，
∴AB=

AC2+BC2

=5；
∵∠AOC=∠ACB=90°，∠CAO=∠BAC，△AOC∽△ACB，
∴

AC

AB

=

AO

AC

，
即AO=AC²÷AB=4，
∴AO=4，
∴BO=1；
∴A（-4，0），B（1，0）；
同理可证△ACO∽△CBO
∴

AO

CO

=

CO

BO

，
即

4

CO

=

CO

1

；
∴CO²=4，
∴OC=2，
∴C（0，-2），
设二次函数关系式为y=ax²+bx+c（a≠0），
把A（-4，0），B（1，0），C（0，-2）分别代入上式，得

16a-4b+c=0 a+b+c=0 c=-2

，
解得

a= 1 2 b= 3 2 c=-2

；
∴所求二次函数图象的关系式为y=

1

2

x2+

3

2

x-2．

Rt△ABC中，由勾股定理易求得AB的长，利用射影定理即可得到AC²=AO•AB，从而求得AO、BO的值，进而由OC²=OA•OB，求得OC的长，由此可得A、B、C三点的坐标，进而可利用待定系数法求得抛物线的解析式．

本题考点：二次函数综合题

考点点评：此题主要考查的是二次函数解析式的确定、通过直角三角形和相似三角形的相关知识求得A、B、C三点的坐标，是解决问题的关键．