题目

已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．
求证：OA平分∠BAC．

提问时间：2021-01-05

答案

证明：∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠AEC=∠ADB=∠BEC=∠CDB=90°．
∵OB=OC，
∴∠DBC=∠ECB．
在△BCD和△CBE中，

∠BEC＝∠CDB ∠BCE＝∠DBC BC＝CB

，
∴△BCD≌△CBE（AAS），
∴BD=CE．
∵OB=OC，
∴BD-OB=EC-OC
∴OD=OE．
在Rt△ODA和Rt△OEA中，

AO＝AO OD＝OE

，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL），
∴∠DAO=∠EAO，
∴OA平分∠BAC．

先根据条件可以得出∠AEC=∠ADB=∠BEC=∠CDB=90°就可以得出△BCD≌△CBE，就有BD=CE，就可以得出OE=OD，再证明△ODA≌△OEA就可以得出∠DAO=∠EAO而得出结论．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了垂直的性质的运用，AAS，HL证明三角形全等的运用，等式的性质的运用，角平分线的判定的运用，解答时证明三角形是关键．