题目

求锥面z=√ (x^2+y^2)与柱面z^2=2x所围立体在xoz面的投影.

提问时间：2021-01-04

答案

要求锥面z=√ (x^2+y^2)与柱面z^2=2x所围立体在xoz面的投影
可以分开求锥面z=√ (x^2+y^2)在xoz面的投影,和柱面z^2=2x在xoz面的投影,这两个投影重叠部分即为锥面z=√ (x^2+y^2)与柱面z^2=2x所围立体在xoz面的投影.
做出图形,令y=0,可求得z=|x|,即锥面z=√ (x^2+y^2)在xoz面的投影为z=-x 与z=x （z≥0）之间的区域.
而易知柱面z^2=2x在xoz面的投影为 z^2=2x 这条抛物线（由于是求所围成的立体在xoz面的投影,我们可以将柱面z^2=2x在xoz面的投影视为这条抛物线内部的区域）
则转化为了二维平面上的问题.即求平面xoz面上z=-x 与z=x （z≥0）之间的区域与抛物线z^2=2x 内部的区域的重叠部分.
做出xoz面,我们可以清楚的表示这个所求区域为（在z=x≥0之上的部分与z^2=2x所包含的区域的重叠部分）
投影面积为S=∫dz∫dx=2/3
注：由于没有带图,造成不便,希望楼主谅解.需要在不同的坐标系上分别画出锥面z=√ (x^2+y^2),与柱面z^2=2x,在xoz面的投影,然后再合在一起,找所需投影,这样方便简洁!
希望能帮到你!