题目

函数F(X)与数列结合的题目求解
已知f(x)在（-1,1）上有定义,f(1/2)=-1,且满足x,y属于（-1,1）有f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy))
(1)证明f(x)在（-1,1）上为奇函数
(2)对数列x1=1/2,x（n+1）=2x(n)/(1+x(n)^2),求f(xn)
(3)求证1/f(x1)+1/f(x2)+……+1/f(xn)大于-（2n+5）/(n+2)

提问时间：2021-01-04

答案

已知f(x)在（-1,1）上有定义,f(1/2)=-1,且满足x,y属于（-1,1）有f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy))
(1)证明f(x)在（-1,1）上为奇函数
证明：令y=-x,得f（x）+f（-x）=f（0）
令x=1/2,y=0,得f（1/2）+f（0）=f（1/2）,得f（0）=0
所以f（x）+f（-x）=f（0）=0,即f（x）=-f（-x）
所以,f（x)在（-1,1）上为奇函数.
(2)对数列x1=1/2,x（n+1）=2x(n)/(1+x(n)^2),求f(xn)
∵ f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy))
令y=x,则f（x）+f（x）=f（2x/（1+x^2))=2f（x）
∵ x（n+1）=2x(n)/(1+x(n)^2)
则f（x（n+1））=f（2x(n)/(1+x(n)^2))
而f（2x(n)/(1+x(n)^2))=2f（xn）
∴ f（x（n+1））=2f（xn）
∴ f（x（n+1））/f（xn）=2
又f（x1）=f（1/2）=-1,
所以f（xn）=-2^(n-1)(即首项为-1,公比为2的等比数列）
(3)求证1/f(x1)+1/f(x2)+……+1/f(xn)>-（2n+5）/(n+2)
证：
S=1/f(x1)+1/f(x2)+……+1/f(xn)
=-[1+1/2+1/4+1/8+...+1/2^(n-1)].1
令S1=1+1/2+1/4+1/8+...+1/2^(n-1).2
则1/2S1=1/2+1/4+1/8+...+1/2^n.3
2式-3式,得1/2S1=1-1/2^n
所以S1=2-2/2^n
所以S=-2+2/2^n
而S2=-（2n+5）/(n+2) =-2-1/（n+2）
对于n属于自然数来说2/2^n>0>-1/(n+2)
所以S>S2
即1/f(x1)+1/f(x2)+……+1/f(xn)>-（2n+5）/(n+2)