题目

已知椭圆E:(x2/a2)+(y2/3)=1(a>根号3)的离心率e=1/2.直线x=t(t>0)与曲线E交于不同的两点M,N,以线段MN为直径作圆C,圆心为C.(1)求椭圆E的方程!（2）若圆C与y轴相交不同的两点A.B.求三角形ABC的面积最大值!

提问时间：2021-01-03

答案

已知椭圆E:(x2/a2)+(y2/3)=1(a>根号3)的离心率e=1/2.直线x=t(t>0)与曲线E交于不同的两点M,N,以线段MN为直径作圆C,圆心为C.(1)求椭圆E的方程!（2）若圆C与y轴相交不同的两点A.B.求三角形ABC的面积最大值!
(1)解析：∵椭圆E:(x2/a2)+(y2/3)=1(a>根号3)的离心率e=1/2
e=c/a=1/2==>a=2c==>a^2=4(a^2-b^2)==>a^2=4
∴椭圆E:x2/4+y2/3=1
(2)解析：∵直线x=t(t>0)与曲线E交于不同的两点M,N,以线段MN为直径作圆C,圆心为C.
∴C(t,0),M,N关于X轴上下对称
∴圆C半径r=√[3(1-t^2/4)]
∴圆C方程为(x-t)^2+y^2=3(1-t^2/4)
∵圆C与y轴相交不同的两点A,B
∴A,B关于X轴上下对称
A,B的Y坐标：(0-t)^2+y^2=3(1-t^2/4)==>y=√[3(1-t^2/4)-t^2]
∴S(⊿ABC)=t√[3(1-t^2/4)-t^2]=t/2√(12-7t^2)
设f(x)=x/2√(12-7x^2)
令f’(x)=1/2√(12-7x^2)+x/2*1/√(12-7x^2)(-14x)=(12-21x^2)/[2√(12-7x^2)]=0
X=2√7/7
∴S(max)=√77/7