题目

已知函数f(x)=1/2x^2+Inx

提问时间：2021-01-03

答案

1.求函数f(x)在（1,e)上的最大值和最小值\x0d已知f(x)=(1/2)x^2+lnx\x0d所以,f'(x)=x+(1/x)\x0d那么,当x∈(1,e)时,f'(x)＞0\x0d则函数f(x)在(1,e)上单调递增\x0d所以,当x∈(1,e)时：\x0df(x)|min=f(1)=(1/2)\x0df(x)|max=f(e)=(e^2/2)+1\x0d2.求证 在区间（1,正无穷大）,函数f(x)的图像在函数g(x)=2/3x^3的图像下方\x0d令函数F(x)=f(x)-g(x)=(1/2)x^2+lnx-(2/3)x^3\x0d则,F'(x)=x+(1/x)-2x^2=(x^2+1-2x^3)/x=(1-x)*(2x^2+x+1)/x\x0d因为2x^2+x+1=2*[x^2+(1/2)x+(1/4)]+(1/2)=2*[x+(1/2)]^2+(1/2)＞0\x0d所以,当x∈(1,+∞)时,F'(x)＜0\x0d即,函数F(x)在x∈(1,+∞)时单调递减\x0d又,F(1)=(1/2)-(2/3)=-1/6＜0\x0d所以,F(x)＜-1/6＜0\x0d亦即,当x∈(1,+∞)时,f(x)在g(x)的下方.