题目

f(x)=x²-a㏑x在（1,2】上增,g(x)=x-a√x在（0,1）上减,求f(x),g(x)表达式
求证x>0时,f(x)-g(x)=x²-2x+3有唯一解

提问时间：2021-01-03

答案

∵f(x)=x²-a㏑x在（1,2]上增,
∴f'(x)=2x-a/x =（2x²-a）/x 在（1,2]上恒大于0
∴2x²-a在（1,2]上恒大于0
∴a≤ (2x²)在（1,2]上的最小值
即a≤2
同理,∵g(x)=x-a√x在（0,1）上减
∴g'(x)=1-a/(2√x) =[(2√x)-a]/(2√x)在（0,1)上恒小于0
∴(2√x)-a在(0,1)上恒小于0
∴a≥(2√x)在(0,1)上的最大值
即a≥2
要同时满足a≥2和a≤2,只能是a=2
∴f(x)=x²-2㏑x,g(x)=x-2√x
第二问：
证明：设h(x)=f(x)-g(x)-(x²-2x+3)=x-2lnx+2√x-3
则题目可以转化为证明 x>0时,h（x）=0有唯一解
对h(x)求导,得h'(x)=1-2/x+1/√x=(√x+2)(√x-1)/x
∴当x>1时,h'(x)>0,h(x)递增
当x<1时,h'(x)<0,h(x)递减
又h(1)=0,
∴当x>1时,h(x)>h(1)=0,
当0h(1)=0,
∴x>0时,h（x）与x轴只有一个交点为x=1
即x>0时,h（x）=0有唯一解 x=1
∴x>0时,f(x)-g(x)=x²-2x+3有唯一解 x=1