题目

若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面与底面所成二面角的正切值为___．

提问时间：2021-01-03

答案

取BC的中点D，连接SD、AD，则SD⊥BC，AD⊥BC．
∴∠SDA为侧面与底面所成二面角的平面角，设为α．
在平面SAD中，作SO⊥AD与AD交于O，则SO为棱锥的高．
AO=2DO，∴OD=

2 3

3

．
又V_S-ABC=

1

3

×

1

2

•AB•BC•sin60°•h=1，
∴h=

3

4

．
∴tanα=

SO

DO

=

3 4

2 3 3

=

3

8

，
故答案为：

3

8

取BC的中点D，连接SD、AD，则SD⊥BC，AD⊥BC，所以∠SDA为侧面与底面所成二面角的平面角．在平面SAD中，作SO⊥AD与AD交于O，则SO为棱锥的高，大小可由体积求得．

本题考点：二面角的平面角及求法

考点点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．