题目

已知数列{an}中,a1=1,an=a(n+1)*3^(n-1)(n≥2且n属于正整数）
（1）求数列{}的通项公式
（2）设函数f(n)=㏒﹙an/9^n)(n属于正整数）,数列{bn}的前n项和为f(n),求{bn}的通项公式
（3）求数列{|bn|}的前n项和Sn

提问时间：2021-01-03

答案

(1)a(n)=a(n-1)/3^(n-2)=a(n-2)/[3^(n-3)·3^(n-2)]=a(n-2)/3^(2n-3-2)=a(n-3)/3^(3n-4-3-2)
=a1/3^[(n-1)n-2-3-...-n]=a1/3^[(n-1)n+1-1-2-3-...-n]=a1/3^[(n-1)n+1-n(n+1)/2]
=1/3^[(n-1)(n-2)/2]=3^[-(n-1)(n-2)/2]
(2)f(n)=log(3^[-(n-1)(n-2)/2]/9^n)=log(3^[-(n-1)(n-2)/2]·3^(-2n))=log3·[-(n-1)(n-2)/2-2n]
=-log3·[(n-1)(n-2)+4n]/2
bn=f(n)-f(n-1)=-log3·[(n-1)(n-2)+4n]/2+log3·[(n-2)(n-3)+4n-4]/2
=log3·{[(n-2)(n-3)+4n-4]-[(n-1)(n-2)+4n]}/2=-nlog3
(3)|bn|=|-nlog3|=nlog3
Sn=log3·n(n+1)/2